Інформація про дисертацію

Дисертація присвячена побудові класів існування розв’язків таких дискретних нескінченновимірних гамільтонових систем як: нескінченні системи нелінійних осциляторів, дискретні рівняння типу синус-Ґордона, системи типу Фермі-Пасти-Улама та дискретні нелінійні рівняння типу Шредінгера на двовимірній ґратці. Враховуючи специфіку таких систем, в роботі набули розвитку і були застосовані методи функціонального аналізу та теорії критичних точок гладких функціоналів. У роботі встановлено умови існування та єдиності локальних і глобальних розв’язків задачі Коші для рівнянь, що описують динаміку нескінченних систем лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці. Встановлено умови обмеженості глобального розв’язку. Окремо досліджено випадок степеневих потенціалів, які у загальному випадку не задовольняють одержані умови. Для таких потенціалів встановлено умови існування та неіснування глобальних розв’язків відповідної задачі Коші. Досліджено умови існування періодичних за часовою змінною розв’язків у нескінченних системах лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці. За допомогою методу критичних точок встановлено існування нетривіальних періодичних розв’язків. Доведено, що для достатньо великих періодів ці розв’язки не сталі. Показано, що у випадку степеневих потенціалів періодичні розв’язки можна побудувати за допомогою методу умовної мінімізації. Встановлено умови існування нетривіальних періодичних і відокремлених біжучих хвиль в нескінченних системах лінійно та нелінійно зв’язаних нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці. Досліджено існування несталих надзвукових і дозвукових біжучих хвиль. Доведено існування несталих періодичних, гомоклінічних і гетероклінічних біжучих хвиль для дискретних рівнянь типу синус-Ґордона на двовимірній ґратці з нелінійним зв’язком. Знайдено умови існування несталих періодичних і відокремлених біжучих хвиль в системах типу Фермі-Пасти-Улама на двовимірній ґратці. Окремо досліджено існування біжучих хвиль з профілем, похідна якого є періодичною та збігається до нуля на нескінченності.  У цьому випадку, зокрема, встановлено умови існування монотонних хвиль. Досліджено існування стоячих хвиль для дискретних нелінійних рівнянь типу Шредінгера з кубічною та насичуваною нелінійностями на двовимірній ґратці. Встановлено умови існування стоячих хвиль з періодичною амплітудою та амплітудою, яка збігається до нуля на нескінченності.

Ключові слова: гамільтонові системи, нелінійні осцилятори, системи типу Фермі-Пасти-Улама, дискретні рівняння типу синус-Ґордона, дискретні нелінійні рівняння типу Шредінгера, двовимірна ґратка, задача Коші, періодичні розв’язки, біжучі хвилі, стоячі хвилі, критичні точки, теорема про гірський перевал, теорема про зачеплення, принцип концентрованої компактності, періодичні апроксимації, многовид Нехарі.

Посилання на онлайн-захист