Інформація про дисертацію

Лаврик С.В. Чисельне роз’язування прямих та обернених істотно просторових задач нестаціонарної теплопровідності – На правах рукопису.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.07 – обчислювальна математика. – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2026.

Дисертаційна робота присвячена чисельному розв’язуванню прямих та обернених задач нестаціонарної теплопровідності у тривимірних однозв’язних та двозв’язних областях з межами, дифеоморфними одиничній сфері. В роботі розглянуто ефективні чисельні методи на основі методу граничних інтегральних рівнянь, перетворення Лапласа та методів регуляризації, запропоновано та обґрунтовано ідеї для оптимізації чисельних методів, продемонстровано практичну придатність методів шляхом чисельних експериментів.

У першому розділі розглянуто чисельне розв’язування задачі Діріхле для рівняння Гельмгольца з комплексним параметром у тривимірній однозв’язній області. Задачу зведено до граничного інтегрального рівняння Фредгольма другого роду за допомогою потенціалу подвійного шару. Для наближеного розв’язування інтегрального рівняння застосовано метод Нистрьома з використанням спеціальних кубатурних формул типу Гаусса–Лежандра для поверхневих інтегралів, запропонованих Вінертом. Розроблено стратегію оптимізації за допомогою попередніх обчислень значень, що не залежать від конкретної межі та параметра рівняння. Завдяки цій оптимізації складність формування матриці системи лінійних алгебраїчних рівнянь зменшено з O(N⁷) до O(N⁴) операцій, де N – параметр дискретизації методу. Наведено деталі програмної реалізації методу, включаючи стратегію кешування матриць на диску та їх ефективного завантаження в оперативну пам’ять, що дозволяє значно прискорити обчислення.

У другому розділі метод розширено на випадок тривимірної двозв’язної області. Задачу зведено до системи двох граничних інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду за допомогою суми потенціалів подвійного шару для обох меж області. Для наближеного розв’язування системи інтегральних рівнянь застосовано метод Нистрьома з використанням спеціальних кубатурних формул. В результаті отримано систему лінійних алгебраїчних рівнянь  для невідомих значень густин потенціалів у вузлах кубатурних формул. Наведені чисельні експерименти демонструють очікуваний порядок похибок та практичну застосовність методу.

У третьому розділі розглянуто чисельний метод для наближеного розв’язування нестаціонарної задачі Діріхле для рівняння теплопровідності у тривимірних однозв’язних та двозв’язних областях. Застосовано перетворення Лапласа за часовою змінною для напівдискретизації задачі за часом та зведення нестаціонарної задачі до сукупності стаціонарних задач для рівняння Гельмгольца з комплексним параметром. Наближене обчислення оберненого перетворення Лапласа виконується за допомогою sinc-квадратури з інтегруванням вздовж спеціального контуру в комплексній площині. Розроблено стратегію оптимізації обчислювальних зусиль шляхом зменшення кількості стаціонарних задач завдяки використанню властивості симетрії вузлів квадратури. Додатково запропоновано та реалізовано процедуру оптимізації параметрів контуру інтегрування для наближеного обчислення оберненого перетворення Лапласа, що потенційно дозволяє досягти кращої точності при меншій кількості вузлів квадратури. Реалізовано паралельні обчислення, що значно зменшує загальний час виконання чисельних експериментів

У четвертому розділі розроблено та реалізовано чисельний метод для розв’язування нестаціонарної задачі Коші для рівняння теплопровідності у тривимірній двозв’язній області. Задача Коші є некоректною через  відсутність стійкості до збурень вхідних даних, тому для отримання стійкого чисельного розв’язку необхідно застосовувати методи регуляризації. Нестаціонарна задача Коші зведена до сукупності стаціонарних задач за допомогою перетворення Лапласа та напівдискретизації за часом. Для чисельного розв’язування стаціонарних задач Коші застосовано метод граничних інтегральних рівнянь з використанням потенціалів простого шару на обох межах області. Задачу зведено до системи граничних інтегральних рівнянь. Для наближеного розв’язування системи інтегральних рівнянь застосовано метод Нистрьома на основі спеціальних кубатурних формул Вінерта. Для регуляризації отриманої системи лінійних алгебраїчних рівнянь використано регуляризацію Філліпса-Тіхонова, яка дозволяє отримувати наближені розв’язки навіть при наявності шуму в даних. Параметр регуляризації вибирається за допомогою методу L-кривих з використанням алгоритму виявлення кута L-кривої на основі кривизни Менгера, що забезпечує баланс між точністю та стійкістю розв’язку.

Для всіх розглянутих методів наведено результати чисельних експериментів для різних конфігурацій областей, різних вхідних даних та для даних із шумом, які підтверджують стійкість, збіжність та практичну придатність розглянутих методів. Результати експериментів демонструють очікувану точність та порядок збіжності методів.

Ключові слова: рівняння теплопровідності, рівняння Гельмгольца, задача Діріхле, задача Коші, тривимірна область, однозв’язна область, двозв’язна область, метод інтегральних рівнянь, метод Нистрьома, кубатурні формули Гаусса-Лежандра, перетворення Лапласа, sinc-квадратура, регуляризація Філліпса-Тіхонова, метод L-кривих, паралельні обчислення.