Інформація про дисертацію

Дисертаційна робота присвячена розвитку та дослідженню проекційно-сіткових
схем  для  розв’язування  задач  з  рівняннями  дифузії-адвекції-реакції,  зокрема,
сингулярно збурених та/або квазілінійних. В основу запропонованих числових схем
покладено  процедуру  Гальоркіна  з  вибором  просторів  апроксимацій  методу
скінченних елементів (МСЕ), в тому числі, із застосуванням апостеріорних оцінок
похибок і концепції h-адаптивності, та однокрокові рекурентні схеми інтегрування
за  часом.  Дискретизовані  системи  рівнянь  в  разі  необхідності  попередньо
лінеаризуються  за  Ньютоном  і  розв’язуються  ітераціями  методу  узагальнених
мінімальних  нев’язок  (GMRES)  з  перезапусками  та  передобумовленням.  Для
обчислень  апроксимацій  МСЕ  із  наперед  гарантованою  точністю  в  розроблене
програмне  забезпечення  імплементовано  кусково-лінійні,  білінійні  і  квадратичні
серендипові  базисні  функції,  оригінальні  апостеріорні  оцінювачі  похибок  та
стратегії  керування  локальним  згущенням  вкладених  тріангуляцій  методу  бісекції.
Якість,  ефективність  і  надійність  числових  схем  встановлено  теоретично  та
проілюстровано  детальним  аналізом  результатів  обчислювальних  експериментів  з
низкою  тестових  і  модельних  задач,  зокрема,  зародження  та  еволюції  спіральних
хвиль в реакції окиснення чадного газу на поверхні платини.
Серед одержаних в дисертації результатів і методів слід відзначити такі:
(і)  економні  поелементно  визначені  апостеріорні  оцінювачі  Діріхле  і  Неймана
залишкового  ґатунку,  здатні  обчислювати  нижню  і  верхню  межі  похибки
апроксимацій  МСЕ,  теоретичний  та  числовий  аналіз  щодо  їхніх  властивостей
ефективності і надійності;
(іі)  ефективні  h-адаптивні  схеми  з  контролем  двосторонніх  меж  похибки  для
лінійних і квазілінійних задач таких, які обчислюють збіжні послідовності кусково-
лінійних  апроксимацій  МСЕ  на  локально  згущуваних  тріангуляціях,
конструйованих методом бісекції;
(ііі)  економні  однокрокові  рекурентні  схеми  інтегрування  задач  Коші  для
напівдискретних  систем  рівнянь  з  узгодженням  порядків  похибок  дискретизації  в
часі та похибок лінеаризації, обґрунтування їхньої стійкості та збіжності.
Ключові  слова:  задача  дифузії-адвекції-реакції,  сингулярна  збуреність,
нелінійність,  метод  скінченних  елементів,  однокрокова  рекурентна  схема,
лінеаризація,  апостеріорний  оцінювач  похибки,  двосторонні  оцінки  похибки,  h-
адаптивна схема методу скінченних елементів, критерії адаптування, метод бісекції,
GMRES, передобумовлення.