Інформація про дисертацію

Дисертація присвячена сучасній області топології, яка останніми десятиліттями інтенсивно розвивається – асимптотичній топології (прийнято також термін “груба геометрія”). Вона присвячена вивченню крупно масштабних інваріантів метричних просторів та, більш загально, грубих структур (модифікаціями останніх є так звані боллеани, які запровадив і досліджував І. В. Протасов).
Ця галузь топології має свої витки також і в геометричній теорії груп. Так М. Громов означив поняття асимптотичного виміру скінченнопородженої групи, яке знайшло застосування у розв’язуванні певних відкритих проблем алгебраїчної топології. Також були означені модифікації асимптотичного виміру Громова (асимптотичний вимір Ассуада-Нагати, асимптотичний підстепеневий вимір).
Природно, що дослідження асимптотичних властивостей метричних просторів вимагає включення їх у певну категорію. Найважливішими для застосування є асимптотичні категорії А. Дранішнікова і Дж. Роу, для яких означено і досліджено різноманітні функторіальні конструкції.
Однією з важливих задач асимптотичної топології є класифікація функторіальних конструкцій з точністю до грубої еквівалентності. У цьому напрямку лежать результати дисертації.
У дисертації доведено, що гіперпростір exp₃(R²) ізоморфний R ⁴ у категорії A. Цей результат є асимптотичним аналогом теореми Р. Ботта, яка стверджує, що exp₃S ¹ гомеоморфне S ³ .

Ми також довели ізоморфність в асимптотичній категорії A наступних пар просторів:

– другий симетричний степінь SP ² R ² та конус над листом Мебіуса Cone(M);

– простір ймовірнісних мір P ₂ R ² та евклідів простір R ⁴ ;

– суперрозширення λ ₃ R ² та евклідів простір R ⁴.