Інформація про дисертацію

Дисертація присвячена побудові, дослідженню і застосуванню фундаментальних розв’язків задачі Коші для вироджених параболічних рівнянь з класів , ,  і . Клас  складають ультрапараболічні рівняння типу Колмогорова. До класу  входять рівняння типу Колмогорова довільного порядку. Рівняння з класу — це рівняння типу рівнянь з класу , в яких додатково  наявні виродження при . Класи рівнянь ,  і є природними узагальненням у різних напрямках відомого рівняння дифузії з інерцією А. М. Колмогорова. Клас  складають -параболічні за Ейдельманом системи рівнянь і виродженням на початковій гіперплощині. Особливістю рівнянь з цього класу є нерівноправність просторових змінних і наявність виродження на початковій гіперплощині.

Для рівнянь з класів ,  і  знайдено умови на коефіцієнти рівнянь, за яких, за допомогою поетапного методу Леві побудовано й досліджено класичні фундаментальні розв’язки задачі Коші, встановлено оцінки побудованих розв’язків та їх похідних, доведено теореми про коректну розв’язність та інтегральні зображення розв’язків у сімействах вагових -просторів, які при  мають експоненціальний ріст максимального порядку 2 чи  відповідно із залежним від  типом. Для підкласу з  — рівнянь з дійсними коефіцієнтами встановлено, крім існування та оцінок побудованого фундаментального розв’язку , додаткові властивості  ( невід’ємність, нормальність, формула згортки та ін.),  які дозволяють трактувати функцію , як густину імовірностей переходу деякого дифузійного процесу; обґрунтовано інтегральне зображення  та доведено коректну розв’язність задачі Коші в класі невід’ємних функцій; отримано формули для визначення характеристик такого дифузійного процесу. Також доведено теореми про локальну  розв’язність задачі Коші для відповідного квазілінійного рівняння і встановлено існування глобального розв’язку задачі Коші для півлінійного рівняння з класу . Отримані в дисертації відомості про фундаментальні розв’язки рівнянь з класів , ,   певним чином показують, як  впливають на властивості побудованих фундаментальних розв’язків і результати їх застосувань наявність у рівняннях особливостей та вироджень (виродження матриці коефіцієнтів, що стоять при старших похідних у рівнянні, нерівноправність просторових змінних, виродження .

Для рівнянь з класу класів  проведено всебічне дослідження потенціалів, ядром яких є відповідний фундаментальний розв’язок у вагових просторах гельдерових функцій, які правильно і точно враховують поведінку при  фундаментального розв’язку; доведено теореми про коректну розв’язність, апріорні оцінки і підвищення гладкості розв’язків задачі Коші та локальну розв’язність задачі Коші для відповідної нелінійної системи з виродженням на початковій гіперплощині. Розглянуто усі можливі типи виродження рівнянь при . Отримані результати узагальнюють і доповнюють раніше отримані автором результати для -параболічних за Петровським систем рівнянь і виродженням на початковій гіперплощині.

Проведені у роботі дослідження мають теоретичний характер. Його результати та методика їж отримання можуть бути використані для дослідження аналітичними методами вироджених параболічних рівнянь загальнішої структури, тобто до побудови й дослідження фундаментальних розв’язків та їх застосувань до встановлення коректної розв’язності, інтегрального зображення і властивостей розв’язків задачі Коші для таких рівнянь.

Ключові слова: вироджені параболічні рівняння типу Колмогорова, параболічні рівняння довільного порядку, параболічні рівняння з виродженням на початковій гіперплощині, задача Коші, фундаментальний розв’язок задачі Коші, метод Леві, оцінювальні функції, об’ємний потенціал, коректна, локальна і глобальна розв’язність задачі Коші.