Інформація про дисертацію

Дисертаційна робота присвячена чисельному розв’язуванню плоских задач для еліптичного рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами.

У даній праці розглянуто крайові задачі Діріхле та Неймана в обмеженій однозв’язній області, мішані крайові задачі та задачу Коші у двозв’язній обмеженій області.

Для розв’язування крайових задач Діріхле та Неймана, використовуючи поняття параметрикса та непрямий підхід інтегральних рівнянь, диференціальні задачі редуковано до систем гранично-просторових інтегральних рівнянь (ГПІР). Досліджено коректність отриманих систем. Через заміну змінних на основі гомотетичного стиснення граничної кривої області розв’язку одержано параметризовану систему ГПІР, яку повністю дискретизовано методом Нистрьома.

Для мішаних крайових задач, подібно до задач Діріхле та Неймана, розв’язки подано у вигляді суми параметрикс-потенціалів простого шару та об’ємного параметрикс-потенціалу з невідомими густинами. Розглянуто випадки двозв’язних областей, що обмежені гомотетичними та негомотетичними кривими.

Для чисельного розв’язування некоректної задачі Коші застосовано непрямий метод інтегральних рівнянь з регуляризацією Тіхонова, а також два ітераційні методи (альтернуючий метод та метод Ландвебера). Розглянуто алгоритми ітераційних методів та досліджено збіжність альтернуючого методу. Для всіх методів виконано чисельні експерименти, результати яких підтверджують теоретичні дослідження.

Ключові слова: еліптичне рівняння зі змінними коефіцієнтами, параметрикс (функція Леві), плоскі крайові задачі, задача Коші, непрямий метод інтегральних рівнянь, гранично-просторове інтегральне рівняння, параметризація області, метод Нистрьома.